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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 UY.;6.  
[ St6u(d]  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. i>e KW4O)  
';5 N>U q  
　　1、三角函数本质： [ <a$H\  
fzEu 4h#n  
　　三角函数的本质来源于定义 14[Z xs!  
(v|1~>  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 8cLtsGP*  
bkM"5| (  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 i4qt~K,_k  
J;g=v  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： xsUtjJ$D  
CCLb ~(6  
　　推导： DL. &n40  
=Y6,!J  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 t{ OzV}u  
 b[QXg  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) vx2P!Kn/  
%qjNr"hK0  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) JX;b rZH  
3Fd1AHOE  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 wxiasC^U  
Zuq=fn=,  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） qN)'d  
% S8LY[)  
　　[1] e `p)Q  
E>RYu.4'  
　　两角和公式 +i-s : o  
>D|c='Y<6h  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB NYC|U  
"M'X(nki  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  [%:QPa<"}|  
M=8CA9E  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB A5?-[%lLp  
lB}?d_k's  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB n)&_I%=o  
cpv5H8  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) q z$m CK  
apG>B;d  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Qt/IA gY  
T'8EK4  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  gc t mT  
/5Osu07  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) s};&:|*  
vEiK[K_@|  
倍角公式 J7mf(Ke  
3&SI"VZ  
　　Sin2A=2SinA•CosA >rvJuk_p  
f9?2ht><  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 3* B$pp.$  
"eW=bx/  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ~LYJnI  
V;wp0 1{#  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） /BZa)Q7}q  
eQ2cB.l$  
三倍角公式 :+;aE HW  
s F#t|  
　　 |@Bk[?~H  
K `}oP  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) QU ECA__  
0M,|S* z3a  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) $'8=/c8<g  
XboLav  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) GWaJ,AgDb  
8YPk\gv  
三倍角公式推导 y6$c3F  
v'C3c%v<i  
　　sin3a pGn?&n-  
9vd ~ hJ  
　　=sin(2a+a) #j]f_]  
#8Aq9 &!  
　　=sin2acosa+cos2asina C[")pk~"  
ZH^<m ;i  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina . gGgIz  
#lo'6\yt  
　　=3sina-4sin³a .M49 G #  
}V6{&R{^{  
　　cos3a k#26sCMw1  
}gE'{CR  
　　=cos(2a+a) n /c >gC  
lcWnmWbI  
　　=cos2acosa-sin2asina VY7.b  
l#PH?=  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa -"DPIMY  
w,|=hso   
　　=4cos³a-3cosa Ls@@n+#Ur  
d1`f~XSBh  
　　sin3a=3sina-4sin³a t#JR }5"e  
ueA`~rYm\  
　　=4sina(3/4-sin²a) gwBgOSr  
jjnh@b R  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Gdw4*~}FH  
N&vQU4<  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) _9^>k2v/e  
3,C[)8vpt  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) w0 gB9N  
N$MjI  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] v&~2NR}  
u)uK  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) >D0 )E$Un  
R/6 !sn9<  
　　cos3a=4cos³a-3cosa E}/Z -  
=}n |+p`  
　　=4cosa(cos²a-3/4) G_WJ[y4  
m\fE.  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] O(H)]PE  
)mtx*uE@  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) R}\ g]/F@  
~EYR:JL  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) b5nSG&^  
Bk@G_!8C  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} iJx.mY  
r:S mdfKE  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) \R*|;H'c  
]grI5sDGz  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 9f|"+Ce  
eatyBzqF  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] !h y!T/  
F-K&bw^Be  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Gj6C49[  
3URJeA  
　　上述两式相比可得 y!*Nd`SI  
0G6n  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) J3R0i'R  
x{eZG@ <  
半角公式 E?je%tPB;T  
a+% 2X:QZE  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Cz >`,7  
 Yc]<>.,  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. =r?e\y1!_  
BB f* LrF  
和差化积 Q(Fysz"zE  
(c"T8(q?b  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] K@on]8u%u  
~l/q!c:m-  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] @PC-J'.f!  
^} s\g:r.  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 818q;Y\U#  
O/u M 9$V  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] z{O^:0  
w#cSw'5%  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) F&+d+|$  
9RL<L;  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) (qz  
6 ,#!b>#  
积化和差 J$v}e'mpX  
%01 id  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 9P tk X9  
TJ@>40Ey?  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ra2@^@t  
MvV(B2R  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 2MFN+ CD\  
0z3k@!MS  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Z:n<A`  
kVd^V"K&x  
诱导公式 oV!|bNCX%|  
B-!UdfT|P  
　　sin(-α) = -sinα O=c9dQ~|4  
;YX*h v_  
　　cos(-α) = cosα FO W")O!4  
r'e-VIN]m  
　　sin(π/2-α) = cosα ;B!drm R  
%e|}i+F  
　　cos(π/2-α) = sinα Y<P-2:(W[  
 zi7~_  
　　sin(π/2+α) = cosα }U+f9gW  
aGY]\=~8|  
　　cos(π/2+α) = -sinα VYUdC;l4M  
O%MZ9_$X  
　　sin(π-α) = sinα eg^dB\&E  
]@iteYUg  
　　cos(π-α) = -cosα [,i`J)a=  
'2Vi_P7  
　　sin(π+α) = -sinα buT3?r#E  
4pr, d-  
　　cos(π+α) = -cosα o&tV3z_!4  
9 JZg [u*  
　　tanA= sinA/cosA e)5e6D  
AX.'Oza  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα =ej;,v>:-  
?O#^cR  
　　tan（π/2－α）＝cotα B/<k5  
i.=agsJx0  
　　tan（π－α）＝－tanα = )\4@8  
G!X|s   
　　tan（π＋α）＝tanα M  
`4D*{#e  
万能公式 LQvC+(  
6)"6{kI  
　　 ('[T` mL,  
g(<:<  
其它公式  fo6=xe  
v6FNB+Y  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 G#* Oa\  
=+>3<AD$  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 cos})jC<  
W~z,!p  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 wY$r M)g  
5+@cQ*KeD  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 EYHE1{"_  
g@:+!wdKq  
　　对于任意非直角三角形,总有 E1PzME*P  
Zd()f&Nh  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9{]{ JR  
]V4O _  
　　证: ,\> ilov  
z5ru4*kl  
　　A+B=π-C 68bMOAvu  
%+"JY}l  
　　tan(A+B)=tan(π-C) qa?#1_gOC  
z (8YBjc  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) St[1p/G l  
1,5-2dh  
　　整理可得 ]O1q9;  
(~qNHe  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC R}I )]Um  
"ps1f<^o  
　　得证 @Fs,  
>1|b) e~N  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 <$@}Rd  
91~xd@%VQ  
其他非重点三角函数 X+Cv#z $K  
e7N Bu  
　　csc(a) = 1/sin(a) OOdx7h;  
w(8Mz!@  
　　sec(a) = 1/cos(a) uewoZ  
^ kIKStI  
　　 hVR{c7,  
rn js6c(8/  
双曲函数 4tH/(SFFU  
jt&{E U2  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 K1G#*H&V  
`:Jz-"a u  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 S;mY9)_  
#}8JSeV_  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) om$^R9@ W  
) ~F`:  
　　公式一： B_'X"7~   
l V({hJHV  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： qA+B@V(Df.  
R0V($|gR2  
　　sin（2kπ＋α）= sinα /L WbD  
A8RvW  
　　cos（2kπ＋α）= cosα \VT_1[  
}GJ$&9$fxS  
　　tan（kπ＋α）= tanα QtWV(N~w  
w0<xClWvI;  
　　cot（kπ＋α）= cotα [5\d8y#  
6i9kS~M&  
　　公式二： t&U`dcCp  
i6w]OJvDhl  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sbGGF )<<z  
h2?<mF[2`*  
　　sin（π＋α）= -sinα *BXAqM4  
9V n^ :bb  
　　cos（π＋α）= -cosα HLE%TU':  
w?F/ c J  
　　tan（π＋α）= tanα \?\vqV}A  
$0RC8O}@  
　　cot（π＋α）= cotα ITz_o2XSE  
uZK3C<pQ.  
　　公式三： 93i1.9|w;R  
}".Q&bM*+  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Qh-Uge/u(  
hYjhCFQW  
　　sin（-α）= -sinα CU|G:DDH+  
@anW~Ys*  
　　cos（-α）= cosα $b N>J7  
M`]#j  
　　tan（-α）= -tanα $dD'x9[0  
tLVd0$ I  
　　cot（-α）= -cotα t*gL)!oQ#^  
?Dk+iM,  
　　公式四： 2{R|^dc  
j|3#{   
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： %);wi<YF  
2\ f$ZO]  
　　sin（π-α）= sinα u74 LSj  
d%<; T  
　　cos（π-α）= -cosα p-O+O}&H  
.jj.xmuI%  
　　tan（π-α）= -tanα y~B*ioH"m@  
`UQ2w%b,  
　　cot（π-α）= -cotα ne9yh#n  
Qe WzT((  
　　公式五： pd35$9(UY  
jF,#f<X  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： u)-J^sQNJ  
 _tFOt  
　　sin（2π-α）= -sinα V.-2{Z5k1t  
tI}u.Iigc  
　　cos（2π-α）= cosα g>8CsOc  
c}B)? b1 c  
　　tan（2π-α）= -tanα WN1wcn>eQ  
Whl*g^3l  
　　cot（2π-α）= -cotα *Ra7c\~S  
I<@ 5Eh2  
　　公式六： '< ns-9  
%mI"4t  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： NE{,agC>(  
1p3#@N   
　　sin（π/2+α）= cosα D:V^QDF 6  
R+C'9W?>QY  
　　cos（π/2+α）= -sinα !J>hb^"H  
w)4~K'G  
　　tan（π/2+α）= -cotα >}L !KLqnV  
6aScqD /  
　　cot（π/2+α）= -tanα dEl`/<!  
yp W.]ZL  
　　sin（π/2-α）= cosα F|>Mb$z  
.l4N h<  
　　cos（π/2-α）= sinα  dgUqm4  
`@!_ddHB  
　　tan（π/2-α）= cotα /acrC%  
wJ]BC  
　　cot（π/2-α）= tanα :}u wfF'  
7)l<7w Op  
　　sin（3π/2+α）= -cosα g%5^5Kl  
2H PW @";  
　　cos（3π/2+α）= sinα ilBB@'4%1>  
(TS#'Si/Fi  
　　tan（3π/2+α）= -cotα DI"\4#  
:]en1mH?-  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ^X7. O~~_  
u9fB) MVG  
　　sin（3π/2-α）= -cosα <"1T@ ;0c  
*Liv(?  
　　cos（3π/2-α）= -sinα v@)Db%  
lVUUr  
　　tan（3π/2-α）= cotα fAH{.F3u  
.*w_xz;  
　　cot（3π/2-α）= tanα !.xMT<{6B  
15U/|Ok  
　　(以上k∈Z) Zp[ww.a N4  
$x|y7ui  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 sTHGUD$-  
foTX Nq=  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = gZs7f[aS =  
{"W77<lY  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } #L;Zj ble  
[bt`9T(,W  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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