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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 sKrIA$k(  
&:AK #}QBo  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. FNF5t_o  
O1"\'vA,T  
　　1、三角函数本质： 2V2vWQHw0\  
E'b+:<<k  
　　三角函数的本质来源于定义 jdgHdov{  
;vLTxCU  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 _`4W5%*F<  
xr}!b@S  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 jwc ibaG  
b 0_<'6"  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Ih/|L.BPC  
k4*Z|5rS=  
　　推导： ]G?;4r^  
<3  X3]/  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 xHV}vW  
(%{Y-[u \Z  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) (RI`^Fiw1  
P~7:$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) JIYE=v#  
71:j W  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 e K|sw<WK  
>$O::j(d  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） m}SU8/jY  
$t&wT  
　　[1] VXbDZ<  
QG@yQ 0k  
　　两角和公式 G]91 fz  
PY6 u'DDF  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB x^V<aQ   
GuK7u6 K  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  |] v( ?U`6  
4 JQ,}&id  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB <<l'gEY+\g  
*:+9z1"I  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ~C.+(m  
S-+L$>7  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) fX9N Cx*i  
)D~0T!  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) dk#{E T  
kEAc15  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  f:k[$8kc  
EF+HBX~  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) KPxS/J  
GvSw=?`  
倍角公式 *.F[ KX  
&dZxt@:  
　　Sin2A=2SinA•CosA l!=Qj 9')  
{ 64Sny  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 !I(OOP  
_Wh`{:sk  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） R&{(tT   
O%b*PB  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） (b{;W0  
P|]BML!o  
三倍角公式 A[\ZY1*  
Mkk@8h}%  
　　 h7iZ~9~Z  
A|@IBd~  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) z%6 {+4s  
gyga{{Rh(  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)  4ql<C  
kV<Car+F  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) cIF:PO  
h`[;=,T"04  
三倍角公式推导 +4sX alI  
Hnp' @ Ub  
　　sin3a &5=eB0m:  
YT7Z5ETKS  
　　=sin(2a+a) )$"j GY1%  
, z&Rr@JD  
　　=sin2acosa+cos2asina dsw+Te  
oDS$_`>xbK  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina `/g;Fm`o #  
<QUP/HT6  
　　=3sina-4sin³a E9&uGHCg  
FR>m7Upc  
　　cos3a gwJ~1@ok  
kIHP3.se  
　　=cos(2a+a) 4 >bX  
Fc^>mxkw8  
　　=cos2acosa-sin2asina HB+|"nw  
,~ e1Z K  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa c74fpg xx(  
xynEy#7  
　　=4cos³a-3cosa hf[tW_<w  
q"Q9tCB[K  
　　sin3a=3sina-4sin³a +b}5)\.d  
]/d oE8  
　　=4sina(3/4-sin²a) ,OzD.  
AEME~*  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] f&^] %  
##}Im-b>  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) RM~( Oefb]  
^Lb39/J>  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) GuU~k}*b  
m38lyQY  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] *\a9VJ-j  
A,EK-bg  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) AQenvx n  
Icx0=Z9l0  
　　cos3a=4cos³a-3cosa :&O| &iD  
K@(aa9R[  
　　=4cosa(cos²a-3/4) `s>5x8aX,  
^=kc3<r  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] hRHZ0:'  
#mTDp"eNJ  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) P!8$Z.??  
P\+f?_pdN  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 4qt7jI1 %  
]Px~3NQ?  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} )"LWV   
wTDRP#-r3  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) K{'[| oUP  
bIfIJ4~!,  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] +vcV)K)  
r;1iEmHsl  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] )uak92ca  
'0!l&w,l  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) [r$sbw{  
L; cV[#  
　　上述两式相比可得 >S rlAzT~  
=D-*00@  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) u\'/LT! {  
oP6tZ  
半角公式 [S=J R  
}PCXX<j  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ( hX\Hamny  
lzsH aQF/  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Y :@YvM;  
.hG6_:{90  
和差化积 /8u]n>i  
G_\YqWT$  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] dzlWUISb  
C:&FqJ  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] u9o[Av   
XF51nLh_>  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^ yN$`NBl  
6Z(BX1  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] N: W  
34nR$>^  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) `>D&-M,H  
5 %lC  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) MuJ`L(  
l2oiI+!Y  
积化和差 ?^Z8leB;_  
?ZNvA:Zp  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] kU1IMW-jp  
GE$DNsQj  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] \ O} ; d  
i|w3 s?  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] iLh<Sq,,  
[zp[EVP  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] i-8fB8`|  
7%biP  
诱导公式 Yl)O v;/X  
\h6Lf97k  
　　sin(-α) = -sinα B4*!`,7YH  
pyKDVURV  
　　cos(-α) = cosα /[slg?ua5  
L;e-}] Q~  
　　sin(π/2-α) = cosα N RPOgQ  
T_G|B+  
　　cos(π/2-α) = sinα X V#P9/bD  
uAQY4GSRX|  
　　sin(π/2+α) = cosα n;i !0  
R; `pmu<  
　　cos(π/2+α) = -sinα *+y=< J  
It\{kAcc  
　　sin(π-α) = sinα q,7OH\  
GOMZo"yb  
　　cos(π-α) = -cosα BaDx#KD=Gr  
/\ @!,QvR  
　　sin(π+α) = -sinα %"'L8`m%!  
o"w=>K(0  
　　cos(π+α) = -cosα ?+/ YR2M)b  
9Q}<bG`O  
　　tanA= sinA/cosA @Jw39MU[  
[4xu\c-yb  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα \V#2j*8$x  
n*S9HxuIA#  
　　tan（π/2－α）＝cotα }Dglwz`  
=EPX}dn  
　　tan（π－α）＝－tanα kZx?c:~  
Xv,&* Ju  
　　tan（π＋α）＝tanα N'#v|iHDQ  
)sMDefOy,  
万能公式 u]Dv `dzA  
Due;w1O$W  
　　 .5}k_S  
qVM]<\}T7  
其它公式 nB~j J  
1.d]n|B"^  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 N>-jC<O  
pURQHYQqm  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 E6%{F#g  
"."`mp/ 6  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 i`# _x"  
zIQ$oq9"  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 8M!_eH; "  
]>(/7xCR  
　　对于任意非直角三角形,总有 vht'> #  
7"3&^:h.  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Uu0UN( v  
,~t+hLV  
　　证: % 2sgn[  
@ ,t:cy7  
　　A+B=π-C ?V8woUntb+  
<'PUkj(3g;  
　　tan(A+B)=tan(π-C) }-@YVT?a]  
wL4.K}B2  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) hkhF@ Tj?  
SI4|u_"  
　　整理可得 rc#X"c7  
vWT1@]bC$  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :m8$ tx]  
l.s7sA-N0  
　　得证 z$ ZHls  
i3(jaXVC  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Aen UUF){  
V%`$8 XN  
其他非重点三角函数  =J 4=#N  
dF~|hDd[  
　　csc(a) = 1/sin(a) Iv BLIv{  
(Eb6T\bm=  
　　sec(a) = 1/cos(a) 0["zF+og  
$~lHqe N  
　　 f mX0@B  
--u d+v,  
双曲函数 5nL&"m  
5.R5k(.~  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 gXfh|6]v  
L15Z7GQ7~  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2  5]+M2  
*Dn~VA7  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) "KmGC[#3  
gC,7`JpD%S  
　　公式一： TwI v^"f#?  
:)sYj  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ]7`^ #X.  
>2 nA+  
　　sin（2kπ＋α）= sinα V mUy~;  
S1T"ZFL  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 4O:L~~Z  
*"*n,9  
　　tan（kπ＋α）= tanα }3QvyB`>&  
' S=9/i&9  
　　cot（kπ＋α）= cotα 0LMS<'  
u AK?nym  
　　公式二： qe>8LBqm"  
qs Nlwlta  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 2rewjK^w  
Y%O.g  
　　sin（π＋α）= -sinα 0cr::z  
w9?*/ pH  
　　cos（π＋α）= -cosα _J0Q q!{4  
d`<*M > k  
　　tan（π＋α）= tanα #^{V5PSQ  
J.;L0#d  
　　cot（π＋α）= cotα ~gel"K4%AF  
6/[7   
　　公式三： U)6)D/91  
}V0M.z*  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： *4q#U8T  
cNw>XnQ  
　　sin（-α）= -sinα H-hz>EzK  
z KI#1S"  
　　cos（-α）= cosα g/&s$gBu  
a/hgQIAl{  
　　tan（-α）= -tanα 3VI7v^q  
!lpcGI  
　　cot（-α）= -cotα =nKo{- q  
r>q9f% AI  
　　公式四： /q1?bD~  
u ^mAkVh  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 4lQlYle  
,}8m_v&  
　　sin（π-α）= sinα 6H-7'5,LI  
vK200  
　　cos（π-α）= -cosα s<U2:AcG*  
' C4;q  
　　tan（π-α）= -tanα !.W7XkL.j  
7"JtY9}  
　　cot（π-α）= -cotα gNzV$!{~  
PPYoQ=  
　　公式五： uzg:y |Rd`  
`/y !} R Z  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： "x>eXRVDU  
tx;Zbpa  
　　sin（2π-α）= -sinα a+"AL![6_  
_*gs"R4  
　　cos（2π-α）= cosα DHem,X"2U  
o~ eUwDe3  
　　tan（2π-α）= -tanα DTr0)T/Y  
vM:0+8^vz  
　　cot（2π-α）= -cotα ?{\X9726}  
RG4|}%4E)  
　　公式六： y"A1} IZ  
g d4lS  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： y"0sX]}/";  
s=uL@_e.  
　　sin（π/2+α）= cosα *ge Pk*  
8\zIB~o]  
　　cos（π/2+α）= -sinα 'WMW:VdyM  
Yx#pj@47R  
　　tan（π/2+α）= -cotα ts= SO ]  
d])P:B%F  
　　cot（π/2+α）= -tanα #44h]y  
"O:I6;O[:  
　　sin（π/2-α）= cosα dA1I -G<2u  
w:=,^nZIm  
　　cos（π/2-α）= sinα 15FT4  
\u6'6 #  
　　tan（π/2-α）= cotα 1uu#q#42  
|jahn>/b  
　　cot（π/2-α）= tanα _aY#( 6w  
$-8R4Q!  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Di/[<g?gz  
xaf#V l>  
　　cos（3π/2+α）= sinα +/Pm3,  
c{pS\epG  
　　tan（3π/2+α）= -cotα GDEDbiY^  
tODUKa]  
　　cot（3π/2+α）= -tanα I_ZI4_D=]  
D!O]cV4j  
　　sin（3π/2-α）= -cosα }H_9XL3cm  
nDP\xy  
　　cos（3π/2-α）= -sinα %#aDV5Ap0  
{'*7Q k49X  
　　tan（3π/2-α）= cotα ;r.^lE ]  
`gOT$3m[k  
　　cot（3π/2-α）= tanα 7$=AH+|)  
=:M#n L9  
　　(以上k∈Z) Q^ %A(  
VqtDX\CV\  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 .1`A546W}-  
sqCt\XM@  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = _xQW}@`w  
O aXfxq  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } UjI9B? }}  
(b z-Gc  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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